Sequência de Fibonacci: veja as suas aplicações na natureza e na arte

A Sequência de Fibonacci é uma sequência numérica infinita que foi elaborada pelo matemático italiano Leonardo Pisa, também conhecido como Leonardo Bigollo ou Leonardo Fibonacci. Começando pelo número 1, a sequência é formada pela soma de cada numeral com o número que o antecede. Ou seja, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, e assim por diante.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Esta sequência foi criada no ano de 1202 quando o matemático descreveu o crescimento de uma população de coelhos. Em termos matemáticos, escreveríamos a fórmula com "an", mas para homenagear o matemático a fórmula pode ser descrita como Fn = Fn - 1 + Fn - 2, no qual "n" é o chamado índice e "fn" o termo geral:

• f2 = f1 + anterior = 1
• f3 = f2+f1 = 1+1 = 2
• f4 = f3+f2 = 2+1 = 3
• f5 = f4+f3 = 3+2 = 5

Dessa forma, podemos continuar infinitamente a sequência como indicado abaixo:

Misteriosamente, a Sequência de Fibonacci está presente em diversos fenômenos da natureza, organismos vivos e fatos do nosso cotidiano. Ela pode ser aplicada em inúmeros casos da matemática, como também na ciência da computação e na teoria de jogos. Ela está presente até na análise de mercados financeiros, já que alguns matemáticos defendem que as flutuações das ações seguem um padrão de crescimento e decréscimo que espelha a Sequência.

Mas não para por aí. Ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, pode ser construído um retângulo com características específicas, chamado de Retângulo de Ouro. Se trata de uma forma geométrica com a seguinte propriedade: se o dividirmos em um quadrado e em um outro retângulo, o novo retângulo será semelhante ao original.

Espiral de Fibonacci

A partir daí, se desenharmos um arco seguindo a sequência numérica dentro desse retângulo, é possível traçar uma espiral perfeita, a chamada Espiral de Fibonacci.

A Espiral de Fibonacci aparece em diversos casos da natureza ou da fisiologia humana. Veja alguns dos mais famosos:

Girassol

Quando olhamos para as sementes na flor do girassol, conseguimos perceber que ela forma uma espiral, tanto para um lado quando para o outro. Ambos os sentidos têm a proporção da Sequência de Fibonacci.

Caracol

Do corpo até a cabeça do caracol, é possível aplicar com perfeição a sequência de Fibonacci. Veja na ilustração abaixo:

Pinhas

O desenho das escamas da pinha também segue a mesma lógica.

Plantas

A planta de nome científico Aloe polyphylla tem uma espiral semelhante à uma mandala, e folhas dispostas em uma simetria impressionante.

Furacões

A imagem da formação de um furação também se aplica à Sequência de Fibonacci.

Conchas

A imagem da concha Nautilus Seccionada exprime com precisão a Espiral.

Vegetais

O chamado Brócoli Romanesco, originário da Itália, também segue essa mesma sequência.

Galáxia

Até mesmo uma galáxia espiral segue a proporção da Sequência de Fibonacci, o que para os defensores do design inteligente é mais uma prova de que certas características do universo e dos seres vivos são melhor explicadas por uma causa inteligente.

Proporção áurea

Os números da Sequência de Fibonacci formam o que se conhece como proporção áurea, um conceito visual amplamente difundido nas artes plásticas, arquitetura e design, por ser harmônico para os olhos humanos. O valor da proporção áurea é de aproximadamente 1,618, o chamado número Phi, que é obtido quando se divide um número com o seu antecessor da sequência de Fibonacci.

Esse número pode ser encontrado sob diferentes alcunhas, como proporção áurea, número de ouro, número áureo, proporção dourada, razão áurea, razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão, ou, simplesmente, Φ (Phi).

O mundo da arte não seria o mesmo sem a proporção áurea

Pode parecer impressionante, mas as proporções do corpo humano se aproximam muito da proporção áurea em várias situações. Como por exemplo, calculando a divisão da sua altura pela medida do seu umbigo até o chão. Assim como se aplica na relação entre o comprimento e a largura do útero de mulheres em suas idades mais férteis, dos 16 anos aos 20 anos.

Grandes obras primas da história do mundo também espelham o Número de Ouro, como as pirâmides do Egito. Alguns estudos apontam para a presença de Phi em relação à base e sua altura, além da distância entre os blocos. Uma das obras-primas arquitetônicas de Gaudí, a Igreja Sagrada Família, em Barcelona, tem vários elementos que aludem à proporção áurea, como a famosa escada em espiral, que lembra a concha de um caracol.

A poesia também tem seus casos. No poema épico grego Ilíada, de Homero, a proporção entre as estrofes maiores e menores é um número próximo a 1,618. Mas a proporção áurea fica também muito evidente nas obras de artes plásticas de artistas consagrados. Como podemos ver nas imagens a seguir:

Mona Lisa, de Leonardo Da Vinci

Moça com brinco de pérola, de Johannes Vermeer

A Criação de Adão, de Michelangelo

O Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci

Outras aplicações da Sequência de Fibonacci

A aplicação da Sequência de Fibonacci em diferentes situações é realmente surpreendente. Mas é falsa a ideia de que tudo na natureza é feito com base na proporção áurea. Então, qual é a sua aplicação real atualmente? Além dos exemplos que vimos da proporção áurea na arte e na natureza, em que ocasiões ela é usada?

• Na física: mais propriamente na ótica dos raios de luz, quando sobrepomos duas placas de vidro e podemos visualizar o número de caminhos possíveis de um raio de luz aumentando gradualmente o número de reflexões nesses caminhos.
• No mercado financeiro: há ampla literatura que demonstra como calcular e prever pontos de inflexão no mercado de commodities, analisar ciclos econômicos e identificar momentos lucrativos na taxa de juros de acordo com a Sequência de Fibonacci.
• Na Ciência da Computação: a sequência serve como fundamento para uma gama de algoritmos e tem aplicação em processamento de textos, ordenação de estrutura de dados, engenharia de software e testes de programas.
• Em sistemas de apostas: seguindo a lógica de que desde que aumente continuamente o montante apostado, qualquer aposta vencedora irá compensar as perdas anteriores, a sequência é usada para gerar lucros em jogos de futebol.